Cours complet math 1ere annee

Cours complet math 1ere annee

Table des mati eres
Introduction. 3
Rappels et compl ements. 7
0.1 Espace vectoriel norm e. Espace de Banach. . . . . . . . . . . . 7
0.2 Continuit e et alg ebre multilin eaire. . . . . . . . . . . . . . . . 8
0.3 Le groupe Iso(E,F) et l'application u 7!u 1 . . . . . . . . . . 11
1 Applications di erentiables. 13
1.1 Di erentielle en un point et sur un ouvert U. . . . . . . . . . . 13
1.2 D eriv ee directionnelle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.3 D eriv ee d'une fonction compos ee. . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.4 Op erations sur les d eriv ees. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.5 Fonctions a valeurs dans un produit d'espaces . . . . . . . . . 18
1.6 Fonctions d e nies sur un ouvert d'un produit d'espaces . . . . 20
1.7 Combinaison des cas pr ec edents . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2 Th eor eme des accroissements nis et applications. 24
2.1 Fonctions a variables r eelles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 Fonctions a variable dans un espace de Banach . . . . . . . . . 26
2.3 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.4 Fonctions strictement di erentiables . . . . . . . . . . . . . . . 29
3 Di eomorphismes de classe C1 31
3.1 D e nition et propri et e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.2 Th eor eme d'inversion locale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
3.3 Th eor eme des fonctions implicites . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4 D eriv ees d'ordre sup erieur-Formule de Taylor 36
4.1 D eriv ees d'ordre sup erieur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.1.1 D eriv ees successives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.2 Formule de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
4.2.1 Rappel sur l'int egration des fonctions r egl ees : . . . . . 39
4.3 Formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.3.1 Formule de Taylor : Cas particulier . . . . . . . . . . . 40
4.3.2 Formule de Taylor : Cas g en eral . . . . . . . . . . . . . 41
5 Maxima et Minima Relatifs 44
5.1 Extrema libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
5.2 Extrema li es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.3 Convexit e et minima. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.4 Introduction au calcul des variations. . . . . . . . . . . . . . . 52
6 Equations Di erentielles nonlin eaires 54
6.1 D e nitions et th eor eme de Cauchy. . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.1 Premier ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.1.2 Ordre n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
6.2 D ependance de la valeur initiale dans le cas lipschitzien. . . . 58
6.2.1 D erivabilit e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
6.2.2 Crit ere de di erentiabilit e par rapport a u : . . . . . . 59
6.2.3 Int egrales premi eres et equations au d eriv ees partielles. 60
6.2.4 Existence des int egrales premi eres : E = R n . . . . . . 61
6.3 Equations di erentielles d ependant d'un param etre. . . . . . . 62
6.3.1 Di erentiabilit e par rapport au param etre. . . . . . . . 62
6.3.2 Equations non homog enes. . . . . . . . . . . . . . . . . 64
7 Equations Di erentielles lin eaires 66
7.1 D e ntions et th eor eme d'existence. . . . . . . . . . . . . . . . 66
7.2 R esolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
7.3 Equations di erentielles lin eaires a coe cients constants. . . . 69
7.3.1 D e nition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.2 R esolvante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
7.3.3 Cas o u E est de dimension nie : . . . . . . . . . . . . 70
7.3.4 Equation di erentielle lin eaire d'ordre n a coe cients
constants . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

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