SMIA Semestre 3 analyse

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Table des mati eres

1 Chapitre I 3
1.1 G EN ERALIT ES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 S eries convergentes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 S ERIES R EELLES A TERMES POSITIFS . . . . . . . . . . . . 5
1.2.1 R esultat fondamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.2 R egles de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.2.3 Comparaison s eries et int egrales : . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 S ERIES A TERMES QUELCONQUES . . . . . . . . . . . . . . 8
1.3.1 Crit eres de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
2 SUITES ET S ERIES DE FONCTIONS 11
2.1 SUITES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.1 Convergence simple. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.1.2 Normes sur un espace vectoriel. . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.3 Convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.1.4 Th eor emes de passage a la limite. . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 S ERIES DE FONCTIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2.1 Continuit e des s eries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.2.2 D erivation terme a terme d'une s erie. . . . . . . . . . . . 14
2.3 CRIT ERES DE CONVERGENCE UNIFORME . . . . . . . . . 15
2.3.1 Crit ere de Cauchy uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.3.2 Crit ere d'Abel uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
3 S ERIES ENTI ERES 16
3.1 G EN ERALITES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
3.2 DOMAINE DE CONVERGENCE . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3.2.1 Existence du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . 17
3.2.2 Calcul du rayon de convergence. . . . . . . . . . . . . . . 17
3.3 PROPRI ETES DES S ERIES ENTI ERES . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.1 Continuit e. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.3.2 D erivation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
3.4 APPLICATIONS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.4.1 D eveloppement en s erie enti ere des fonctions usuelles. . . 19
3.4.2 Introduction de nouvelles fonctions. . . . . . . . . . . . . 20
3.4.3 R esolution de certaines equations di erentielles. . . . . . 21
4 S ERIES DE FOURIER 22
4.1 S ERIES TRIGONOM ETRIQUES . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4.2 S ERIES DE FOURIER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4.3 CONVERGENCE UNIFORME DE LA S ERIE DE FOURIER . 28

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